Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 2º Teste de avaliação
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
• Não apresente cálculos ou justificações. • Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
1. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.
O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1.
A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.
O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1.
2. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ S e B ⊂ S)
Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B) ?
3. Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato, para
ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república, tem
andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Qual é
em percentagem, aproximada às unidades, a probabilidade de ele passar no exame?
5. Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura
contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso.
Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, 1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois dados diferentes: um tetraedro que
sorteia um número entre 1 e 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam-se os dois
dados e somam os números que saíram. Considere a variável X – número que, em cada
jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados.
1.1. Construa uma tabela de distribuição de probabilidades para a variável X. 1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a 2. Num tabuleiro quadrado, dividido em 9 pequenos quadrados, vão colocar- 2.1. De quantas maneiras podem ser colocadas as 9 peças? 2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, determine a
probabilidade de uma diagonal ficar só com peças azuis?
3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma viagem numa carrinha de seis
lugares, incluindo o condutor. Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A
disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizado
3.1. De quantas maneiras os seis passageiros podem
ocupar os lugares durante a viagem, sabendo que cada
3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal
Qual é a probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado
juntos? Apresente o resultado em percentagem, arredondado às décimas.
4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,
verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em
cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,
cinco dos jovens irão ficar sem bilhete.
Qual é a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas?
5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas
e as bolas com número par são brancas.
5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao
acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver
alternância nas cores das quatro bolas extraídas?”
Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB)
Concorda com a resolução apresentada pela Joana? Caso não concorde, identifique o erro
cometido, corrija-o e explique a razão da correção.
5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, duas bolas, uma
após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos:
V: ”a primeira bola extraída é vermelha”
B: ”a segunda bola extraída é branca”
I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar”
Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P (I| (V ∪ B)) .
Numa pequena composição explique o raciocínio efetuado.
COTAÇÕES DO GRUPOII QUESTÃO COTAÇÃO Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 2º Teste de avaliação 1. (C) Das afirmações dadas é necessariamente verdadeira “A soma das probabilidades de dois
acontecimentos contrários é 1”, porque acontecimentos contrários são acontecimentos
incompatíveis cuja reunião é o espaço de resultados.
2. (D) Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ S e B ⊂ S) Sabe-se que: P(A) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,1 e
P (A ∪ B) = 0,8 . O valor de P(B) é 0,4 porque P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e de
acordo com os dados conseguimos concluir que 0,8 = 0,3 + P (B) − 0,1⇔ P(B) = 0,6 e como
3. (C) Numa pequena república, o exame teórico de condução tem 20 perguntas e o candidato,
para ser aprovado, não pode falhar mais de 3. O senhor Raimundo, cidadão dessa república,
tem andado a fazer testes e ultimamente a sua média é acertar 11 em cada 12 perguntas. Em
percentagem a probabilidade de ele passar no exame é 92% porque
,3) ≃ 0,92 e dá-nos a probabilidade de o senhor Raimundo errar no
4. (C) 2008 5. (D) Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura
contemporânea. Um estudante pretende escrever-se em 6 disciplinas desse curso.
O número de escolhas que ele pode fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas
disciplinas de literatura contemporânea é 3
número de maneiras de escolher 2 disciplinas de literatura contemporânea e as restantes 4
das 7 que não são de literatura contemporânea e 7C representa o número de maneiras de
escolher 3 das 7 disciplinas que não são de literatura contemporânea e as 3 de literatura
1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois
dados diferentes: um tetraedro que sorteia um número de
1 a 4, e um octaedro que dá um número de 1 a 8. Lançam
os dois dados e somam os números que saíram.
Consideremos a variável X – número que, em cada
jogada, é a soma dos valores saídos nos dois dados.
1.1. Vamos construir uma tabela de probabilidades, começando por construir uma tabela de
soma dos resultados nos dois dados e em seguida construir a tabela de distribuição das
1.2. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Rita. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha a
Joana. Chamemos A ao acontecimento “ganha a Rita” e B ao acontecimento “ganha a
As duas amigas têm a mesma probabilidade de ganhar.
2. Num tabuleiro quadrado dividido em 9 pequenos quadrados vão colocar-se 2.1. O número de maneiras de colocar as 9 peças é 9C = 84 . 2.2. Supondo que as peças são colocadas, ao acaso, a probabilidade de
uma diagonal ficar só com peças azuis é tal que o nº de casos
possíveis é 84 e o nº de casos favoráveis é 2 por termos exatamente 3 peças azuis e
duas diagonais, para cada diagonal há apenas uma maneira de colocar as peças azuis.
3. Três casais, entre eles, o casal Silva, resolveram fazer uma
viagem numa carrinha de seis lugares, incluindo o condutor.
Apenas o casal Silva não está habilitado a conduzir. A
disposição dos seis lugares na carrinha está esquematizada
3.1. Considerando que temos os dois bancos lado a lado ligados o casal Silva podia ocupar 2
dos 3 pares de bancos e em cada um deles podiam trocar de posição podendo assim
sentar-se de 4 maneiras, o segundo casal a sentar-se dispunha também ele de 2 bancos
e podendo então sentar-se também de 4 maneiras diferentes, o último casal teria de ficar
com o banco que sobra e sentar-se-ia de 2 maneiras diferentes. Então o número de
maneiras de os seis passageiros ocuparem os lugares durante a viagem, sabendo que
cada casal faz a viagem lado a lado e que só o casal Silva não pode conduzir é
3.2. Chegados ao destino, pediram a um jovem que lhes tirasse uma fotografia. Para tal
A probabilidade de pelo menos os elementos de um dos casais não terem ficado juntos é
o contrário de todos os casais terem ficado juntos.
≃ 0,933 . A probabilidade pedida é 93,3%
4. Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá,
verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com 10 lugares consecutivos em
cada um delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente,
cinco dos jovens irão ficar sem bilhete.
Calculemos a probabilidade de uma fila ficar ocupada só com rapazes e a outra só com
5. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas
e as bolas com número par são brancas.
5.1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: “Retiram-se, ao
acaso, sucessivamente e com reposição, quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver
alternância nas cores das quatro bolas extraídas?”
Número de casos favoráveis: 2 (BVBV ou VBVB)
A resolução apresentada pela Joana está incorreta. O erro está na contagem do número
de casos favoráveis porque BVBV pode obter-se de 4 × 5 × 4 × 5 = 400 e VBVB pode obter-
se de 5 × 4 × 5 × 4 = 400 . Assim há 800 casos favoráveis. Probabilidade pedida:
5.2. Considere a experiência aleatória que consiste em reitrar, ao acaso, duas bolas, uma
após outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos:
V: ”a primeira bola extraída é vermelha”
B: ”a segunda bola extraída é branca”
I: ”a soma dos números das bolas extraídas é um número ímpar”
Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, vamos indicar o valor de
P (I| (V ∪ B)) é a probabilidade da soma 1
dos números das bolas extraídas ser um
número ímpar, sabendo que o número da
11 12 13 14
10 11 12 13
9 10 11 12 13 14 15 16 17
Os casos favoráveis são apenas 20 resultantes da soma de ímpar com par.
QUESTÃO COTAÇÃO Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A Tema I – Probabilidades e Combinatória 2º Teste de avaliação – Critérios de correcção Grupo I (50 pontos)
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
Grupo II (150 pontos)
• Tabela de distribuição das probabilidades
• Calcular o número de casos possíveis
• Calcular o número de casos favoráveis
• Calcular o número de casos possíveis
• Calcular o número de casos favoráveis
Total …………………………………………………………………………………………………
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 
5. Num curso superior existem 10 disciplinas de índole literária, das quais 3 são de literatura 
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 
1. A Rita e a Joana são amigas e estão a jogar com dois 
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis